รากฐานทางทฤษฎี

ก่อนที่จะมีการคำนวณใด ๆ เกิดขึ้น เราต้องมั่นใจว่าการค้นหาของเราไม่ใช่เรื่องไร้ประโยชน์ เราเริ่มต้นด้วย ปัญหาค่าเริ่มต้น (IVP):

$$y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0$$

ทฤษฎีบท 2.4.2 กล่าวว่า มีคำตอบเดียว $y = \phi(t)$ สำหรับปัญหานี้ในช่วงบางช่วงรอบจุด $t_0$ ความรับรองนี้ทำให้การศึกษาเชิงตัวเลขของเราเป็นเหตุผลที่สมเหตุสมผล หากไม่มีคำตอบ หรือหากคำตอบไม่เป็นเอกลักษณ์ อัลกอริธึมของเราอาจเข้าใกล้ค่าที่ไร้สาระ หรือเบี่ยงเบนไปอย่างสิ้นเชิง

สะพานเชิงอินทิกรัล

เกือบทุกวิธีการเชิงตัวเลขมีโครงสร้างทางคณิตศาสตร์เหมือนกัน ซึ่งมาจากการทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส เราสามารถแสดงการเปลี่ยนแปลงของคำตอบ $\phi(t)$ จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งได้เป็นเอกลักษณ์ที่แน่นอน:

$$\phi(t_{n+1}) - \phi(t_n) = \int_{t_n}^{t_{n+1}} \phi'(t) dt$$

โดยแทนที่สมการเชิงอนุพันธ์ $\phi'(t) = f(t, \phi(t))$ เราจะได้ สูตรการสร้างใหม่:

$$\phi(t_{n+1}) = \phi(t_n) + \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t, \phi(t)) dt$$

จากต่อเนื่องไปสู่เชิงบุคลิก

คอมพิวเตอร์ไม่สามารถประเมินอินทิกรัลของฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า $\phi(t)$ ได้ ดังนั้นเรา แยกเป็นจุด. ในกรณีที่ง่ายที่สุด เราประมาณพื้นที่ใต้กราฟ $f(t, \phi(t))$ เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้าง $h = t_{n+1} - t_n$ และความสูงที่จุดเริ่มต้น $f(t_n, y_n)$ การเปลี่ยนแปลงจากอินทิกรัลที่โค้งงอไปเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ระบายสี (ตามที่เห็นในรูปที่ 8.1.1) สร้าง สูตรของเออเลอร์: